第三十七章 我在脑海中解答出来的

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很快，数学老师甄老师便被请过来。

甄老师不仅仅是数学老师，而且是整个中南一中的数学科主任，本来能够成为中南一中这样的省重点高中的老师已经很不简单，更是数学科主任，足以说明他的能耐，放眼在整个中南市教育界都颇具名气。

了解到情况，甄老师同意下来，因为他也很想知道，秦无道是不是凭着自己的实力考出将近满分的数学试卷。

要知道第二次模拟考的数学试卷，不是一般的困难。

甄老师在黑板上快速写下一道难题：“已知a，b是实数，函数f（x）=x3+ax，g（x）=x2+bx，f'（x）和g'（x）是f（x），g（x）的导函数，若f'（x）g'（x）≥0在区间I上恒成立，则称f（x）和g（x）在区间I上单调性一致，现设a＜0，且a≠b，若函数f（x）和g（x）在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a-b|的最大值。”

一看到题目，所有同学都下意识地进行在白纸上进行解答。

张越同样是这样。

李紫薇、慕倾颜这样的尖子生亦如此。

只有秦无道淡淡地看着题目，一动不动。

过去了大概十来分钟后，秦无道还在桌位上一动不动。

李紫薇、慕倾颜以及几个相对数学厉害一些的尖子生停下来，显然以及解答出来了。

张越这时候也举起手来开口：“老师我解出答案了。”

他并且将解题步骤以及答案都递交上去。

数学老师看了片刻，微微点头，显然张越解答出来。

旋即看向秦无道，道：“秦同学你呢？”

秦无道开口：“我也解出答案了。”

众人一愣，你压根就没有解答，怎么知道答案。

数学老师也是微微一皱眉，开口：“答案是多少？”

“1/3！”

所有人都是一愣，数学老师更显露出几分惊讶：“你怎么解答出来的。”

显然，秦无道的答案是正确的。

只是，秦无道从一开始就没有在纸上进行解答，不可能知道答案，难道他是看过答案？

不少同学都疑惑，认为这个观点最有可能。

张越站起来，道：“秦无道，你又看过答案。”

秦无道冷笑：“题目是数学老师随机出的，我事先不知道，你难道是怀疑甄老师跟我一起串通吗？”

张越神色一变，急忙道：“我不敢怀疑甄老师，可你怎么知道答案，你还没有进行解析。”

秦无道淡淡道：“因为我在脑海中解析出来了。”

“不可能！”

所有人都不相信，在脑海中解析，那还是人吗？

秦无道站起来，直接走到黑板上，拿起粉笔就是写起来，并且一边开口解释：“这一题首先是求导，解得f'（x）=3x2+a g'（x）=2x+b

接着由条件可知在区间上，有（3x2+a）（2x+b）≥0。”

“接着再画图f'（x）=3x2+a，是一个顶点为（0，a）的，开口向上的抛物线。”

“同样画g'（x）=2x+b，是一条直线。”

“因为题目没有给a和b哪个大，题目就稍微复杂了一些。”

“可以分两种情况，先假设b大于a，所以区间就是（a，b），根据图像，我们可以知道直线与x轴的交点是（-b/2，0），若b大于0的话，所以就有b大于-b/2，那在区间（-b/2，0）上，g'（x）大于0，而f'（x）小于0，所以b不能大于0。”

“当b不大于0时，交点（-b/2，0）在y轴右边，或者y轴上（b=0），那么就有g'（x）在区间（a，b）上恒小于等于0，那么则表明f'（x）在（a，b）上也是恒小于等于0，通过图像可以发现，当x小于-√-a/3时，f'（x）大于0，所以就有a要大于等于-√-a/3，解得a大于等于-1/3所以有a的范围是【-1/3，0），b的范围是（a，0】，所以就有|a-b|的最大值为1/3。”

“当b小于a时，那就直接有b小于0了，做图和上面一样，解得a大于等于-1/3，b大于等于-√-a/3，结果就解不下去了。”

张越忍不住追问了一句：“为什么当x小于-√-a/3时，f'（x）大于0，所以就有a要大于等于-√-a/3？”

秦无道解释：“先说第二个，由于 g'（x）=2x+b与x轴的交点是（-b/2，0），由图像可知，当x大于-b/2时，g'（x）大于0，接着设b大于0，那就有-b/2小于0且小于b，那表示在（-b/2，0）的区间上，g'（x）大于0，而由图像可知，在（-√-a/3，0）的区间上，f'（x）小于0，那表明不论a和b是什么关系，在小于0上必然有一个区间，有g'（x）大于0，而f'（x）小于0，所以b必定不能大于0就有b小于等于0，至于b为什么大于a，那是我设的，刚开始我直接就设b大于a。所以才有区间为（a，b）。”

“第一个，由于上面已经证明b小于等于0，那表明，-b/2大于等于b，结合图像就可以看出，在（a，b）这个区间上，g'（x）恒小于等于0，那么就必须有在（a，b），f'（x）也恒小于等于0，所以a就必须大于等于-√-a/3，因为只要a小于-√-a/3，那表明在区间（a，b）上，可以取到x值，使f'（x）大于0。”

“因为题目里没有给出a和b的大小，所以当b小于a时，不能求得具体的数值，不过却可以通过讨论，证明出最大值小于1/3。结果两种情况一结合，得出最大值为1/3。”